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たかしゅんの答え:二つの封筒問題は、最初に選んだ封筒の金額を見た上で、もう一つの封筒を取った方がお得なのである。
参考)2016/07/07 パラドックス モンティ問題 二つの封筒問題【URL】 by たかしゅん
結論からいいますと、まちごうとりました。 -_-
たかしゅんの答え:二つの封筒問題は、最初に選んだ封筒の金額を見た上で、もう一つの封筒を取ってもお得になりません。・・・・でした・_・
封筒の上限を考えた場合、どうしても半分にしかならない場合がでます。上限を無限で小数も含めた数を考えた場合は、確かに1.25になるんですが、それって無理だと言う事でした。 ・_・
★あらゆる場合を想定した計算方法
1~10までの片方が2倍になる数値の組み合わせは、(1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)の5種類。
この組み合わせを全て並べてみました。
最初の数 | もう一つの数 | 増〇減× | 倍率 | 増減 |
1 | 2 | 〇 | 2 | +1 |
2 | 1 | × | 0.5 | -1 |
2 | 4 | 〇 | 2 | +2 |
3 | 6 | 〇 | 2 | +3 |
4 | 2 | × | 0.5 | -2 |
4 | 8 | 〇 | 2 | +4 |
5 | 10 | × | 2 | +5 |
6 | 3 | × | 0.5 | -3 |
7 | - | - | - | - |
8 | 4 | × | 0.5 | -4 |
9 | - | - | - | - |
10 | 5 | 〇 | 0.5 | -5 |
〇率50% | 平均1.25 | 合計 0 |
見ればわかると思いますが、1~10までの組み合わせですべての場合を想定すると、まず、奇数は半分になると小数になりますので、2倍しか存在しません。5より大きい数値の2倍は10を超えてしまいますので、偶数は半分にしかなりませんし、奇数は全く存在しません。
つまり、二つの封筒問題を考えた場合、どうしても有限である以上は、上限10の値が変わるだけであり、全ての場合の数を考えれば、結局は期待値は同じ(増減平均は0)になるようです。
※偶数だけ(2,4)(4,8)(6,12)(8,16)(10,20)でやっても結果は同じです。(2,6,10は必ず2倍 12,16,20は必ず半分)
※前回のScriptは600(300までのランダム数に半分か2倍の数値を与えた集団)までの母集団の中で、最初の数100のみを抽出した為、平均1.25倍となっただけで、300までの奇数が常に2倍になり、300を超えた偶数は全てが半分になる事象を無視していました。
ですので、全ての組合せを考えた場合、必ず2倍になる数値もあれば、上限の半分より上は存在しないか、半分にしかならないという事になります。
有限の母集団を考えた場合、ある数を超えた時点で半分と2倍の確率が変わるのであれば、上限を無限にして半分と2倍の確率は変わらないとし、数値も小数まで拡大するのは無理がありますよね。
前回のブログであっていたのは、『素人が「****である」と断言してはならない問題なのである。』の部分だけでした。 ・_・ この考えは今でも変わっていませんですw
コメント
コメント一覧 (3)
コンピュータシミュレーションでこの問題を解くのは面白そうですが
私なりに理屈を考えてみました
封筒が二つあって、片方にX、もう片方に2X、入っています
どちらかを自由選択して手に取ります
もしXの方の封筒を手に取っていたなら、もう片方は2Xです
もし2Xの方の封筒を手に取っていたなら、もう片方はXです
封筒を交換する行為を記号「⇒」で表現するなら
X ⇒ 2X ・・・①
2X ⇒ X ・・・②
の二つの状態が考えられ、交換する方がよいか、どうか迷っている状態ですね
ここで、今の置かれている状態が、①である確率と、②である確率は、ともに1/2です
なぜならそれぞれXと2Xが入っている2つの封筒から
1つを自由選択したからです、まったくの裏表になってます
ここで、今の置かれている状態の期待値を求めます
①と②は共に1/2の確立なので①と②を足して2で割ればよいです
すると、1.5X ⇒ 1.5X ・・・③ となります
③の左辺の意味していることは、今持ってる封筒はXか2Xか五分五分なので
期待値は1.5Xであるということです
同様に右辺が意味しているのは、他方の封筒の期待値も1.5Xであるということです
両者ともに期待値が1.5Xであるので、交換しても、交換しなくても
期待値は同じで、どちらが得とは言えず、イーブンである、ことが分かります
ここで、手に取っている封筒を開けてみます
10000円が入っていることを確認しました
交換しなかった場合の期待値は10000円で確定します
既に③で期待値は求めてあるので、左辺が10000円になるようにXを調節します
1.5X=10000円であるので、X=6666.666....円であることが判明します
封筒の中身を確認したことで今回の場合のXの具体的な値が定まりましたが
逆にいえば、ただそれだけのことです
封筒を交換した場合の期待値も1.5Xですので、当然、求めるべき期待値も10000円となり
交換しても、交換しなくても、期待値は同じです、割と自明ですよね
①と②の左辺に10000円を突っ込んでしまうからです
①の左辺に10000円を突っ込むと、X=10000円となり、右辺は20000円になります
②の左辺に10000円を突っ込むと、X=5000円となり、右辺は5000円になります
ところがここで明らかに問題が発覚してますが、①と②でXの値が変わってしまっています
もとより①と②のXが同じ値であることを前提に数式や理論を組み立ててきたわけですから
これはおかしいです
Xが同じ値を意味していないのであれば、連立させて、足したり引いたりできないです
片方にX=10000円を入れて、もう片方にX=5000円を入れたなら、もう単純な足し引きは出来ないです
なので、右辺の20000円と5000円を足して2で割っても正しい期待値は求まらないのです
Xの値が違うことで、①と②の数式の重みとでも言いますか、意味合いといいますか
スケールが別になってしまっているわけです
20000円と5000円を安易に足すのは、mとcmを単位変換せずに足しているようなものです
だから変な答えが出るのですね
難しいですよね ^_^
二つの封筒問題はさながら量子力学の2重スリット実験だ!
なんて思ったりするんですけどね。
封筒の中身を見る(観測する)と、結論が変わるwww
というわけで、量子の世界ではありえますが、リア封筒ではありえないんですよね。
確率の同じ封筒は中身を見て期待値を計算しても、二つは同じでした。
正直なところ、この問題答えは二つの封筒どちらを選んでも「同じ」という所は確信でき、封筒の中身を見た後の期待値は意味を持たない。
ここまでは理解できました。
でもまだまだこの問題、私の中では尾を引きそうです。