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【ESTIMA】 Sense of Wonder 好奇心を、動かそう。

わからないもの、
人間を超えた世界を感じるもの、
神秘的なものにふれたときの
不思議な感動を、Sense of Wonderと呼ぶ。

さぁ、新しいESTIMAに乗って、
Sense of Wonderを見つけに行こう。

2016/06/06 UFO、謎の珍獣、世界の奇祭…。  トヨタの「新型エスティマ」のサイトがワンダーすぎる!URL
2016/06/06 『新型エスティマ』のキャンペーンサイトが想像の遥か斜め上を行ってる件 / 世界の不思議に満ち溢れててマジでテンションあがる!!!URL

 トヨタは「スポーティ&エレガント」をコンセプトにした新エスティマを6/6発表した。そのキャンペーンはSense of Wonder、人間の知的好奇心を暴走させるwそんなキャンペーンサイトになっている。
ESTIMAスペシャルサイト 世界の不思議URL

世界の不思議として紹介されているのが下記になる。

・UFO【URL】 ・ファフロツキーズ現象【URL】 ・サン=ジェルマン伯爵【URL】 ・UFOパンケーキ事件【URL】 ・ヴォイニッチ手帳【URL】 ・聖徳太子の地球儀【URL】 ・オルフェレウスの永久機関【URL】 ・ディスマン【URL】 ・未来人ジョン=タイター【URL】 ・架空の街"アグロ―"【URL】 ・メジェド【URL】 ・クケリ【URL】 ・クシュヴィ・ラス【URL】 ・ジャッカローブ【URL】 ・フラットウッズ・モンスター【URL】 ・クラーケン【URL】 ・モンティ・ホール問題URL】 ・シュレディンガーの猫【URL】 ・無限のサル定理【URL
 
 リケイで知的好奇心マニアの僕はパラドックスを突き詰めるのが大好き
 新エスティマでも取り上げられている世界の不思議の一つ「モンティ・ホール問題」等、難解パラドックスについて書いてみる。

 パラドックス【Wikipedia】というのは、妥当な推論に対しありえない結論が得られる事例で、回答者が答えを出すまでは早いが、真の回答を知ってから理解するまでの時間が長い。

 個人的には最高のパラドックスは「モンティ・ホール問題【Wikipedia】」だった。当たり前のように出した推論が違っている上に、数学的証明を理解するにも時間がかかるが、理解した後のすっきり感は他に類を見ない。そして、その歴史的背景も興味深い。

★モンティ・ホール問題
ゲームのルール
〇 3つのドア (A, B, C) に(景品[当たり]、ヤギ[はずれ]、ヤギ[はずれ])がランダムに入っている。
〇 プレーヤーはドアを1つ選ぶ。
〇 モンティは残りのドアのうち、ヤギ[はずれ]の入っているドアを開ける。
〇 モンティはプレーヤーにドアを選びなおしてよいと提案する。

問題:プレーヤーは最初に選んだドアと違うドアを開けた方が当たる確率が高くなるのか?

わかりやすいようにSCRIPTで作ってみました。





ここに3つのドアがあります。
1つのドアの後ろには景品の新車が、
2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいます。
好きなドアをクリックして選んでください。

 あなたも考えてみてください。ドアは選び直した方が当たる確率は高くなるのでしょうか?同じなのでしょうか?

●サヴァントを巡る論争
1990/09/09 ニュース雑誌 Parade のコラム「マリリンにおまかせ」(by マリリン・ボス・サヴァント【Wikipedia】)で回答を『ドアを変更した方が良い(変更しない場合当たる確率1/3,変更した場合の当たる確率2/3)』として掲載。直後、回答は間違っているとの反論投書が相次ぐ
 
1990/12/02 マリリン・ボス・サヴァントは反論投書を紹介【Game Show Problem(英語)】
<反論内容>クリック
1991/02/17 3回目の記事を掲載するも、反論投書は収まらず大議論に発展
     一方、教師や学生が試験・検証後、サヴァントを指示しはじめる

1999/01 サヴァントの意見に反対である数学者アンドリュー・ヴァージョニがパソコンでシミュレーションした結果、サヴァントの理論通りになる。ヴァージョニは自分が出した検証結果に納得しないものの、「どっちのドアにキャディラックはあるの?」で発表
統計


 数学者が検証結果として公開したことで、他の学者たちも考えを改め、モンティ問題は終結した。

答え:最初に選んでいないドアを開けた方が当たる確率が高い。

同じロジックで3囚人問題として古くから存在している。

3囚人問題Wikipedia
〇ある監獄にA,B,Cという3人の死刑囚がいて、内1人が恩赦で助けられる事になった(各人死刑になる確率は2/3)

〇囚人Aは看守に一人で良いからB,Cの内の死刑になる奴を教えて欲しいとせがみ、看守はBは死刑になると答えた。

〇囚人Aは「死刑になる確率が2/3から1/2に下がった」と喜んだ

問題:囚人Aは確率が1/2に下がった。それは正しいか? 

答え:Bが死刑になると知っても、Aが死刑になる確率は2/3で変わらない。ついでに、Cが死刑になる確率は1/3で確率は下がる。

 モンティ・ホール問題と全く同じである。ハズレのドアを開けた後に残された2つのドアの当たりの確立が同じではない。と同様に、Bの処刑を聞いて、残されたA,Cの死刑になる確率は同じでないのである。
 残された2つ(AとC)には何の違いがあるかと言えば、Cは答えを知っているモンティや看守が【当たりを避けた】という事象が生じている。そこがもともとのAとの違いである。

 理解を簡単にするならば、100個のドアの内に、1か所に当たりあがある。一つを選んだ後、残りの99のドアから1つ残し、98の外れドアをモンティ―が開けた場合を考えればよい。
 自分が1/100の確率で選んだドアと、モンティが外れを確認した上で残した1つのドアと当たる確率が同じだと言う人はいないだろう。自分の選んだドアが当たる確率は最初に選ぶ確率と同じ1/100だが、モンティが残した1つのドアが当たる確率は99/100になるのである。(サヴァントはこの例題を提示するも、数学者たちは納得しなかったという。)
  これでも納得されない方は、上のScriptで何度もやって統計を取って見れば良いかとwww

 パラドックスはこの問題はこのように必ず「目から腑に鱗が落ちる」例題を想定することで、悩みは解決する。


★二つの封筒問題
〇あなたの前には、2つの封筒があります。
〇この2つの封筒は、片方の2倍の金額が入っています。
〇あなたは、1つの封筒を選択し、中身を見ることができます。
〇その際に、1万円が入っていました。

問題:さて、あなたはもう1つの封筒に変える方がお得ですかお得じゃないですか?

 常識的にはどちらの封筒も同じ条件なんだから、中味を見たことでもう一つの封筒の方がお得になるはずがない。
 が一方、選んだ封筒の中身を見た上で、もう一つの封筒を選んだ場合、得する場合は+1万円、損する場合は-5千円なんだから、交換した方が金額的にメリットがあるはずだ。
 この二つの理論に惑わされるのがパラドックスたるゆえんである。

 これを理解するための腑に落ちる例題を考えました。下記になります。 
<例題>クリック
結論、ワカリマセン ・_・

●シミュレーション
コンピューターで検証してみた。
ランダムに1つの数字を決定する。そして、二分の一の確率で最初の数の2倍か2分の1の数値を作る。
本当はここで2つの数字を比較しても良いがリアリティを追及して。
ランダムに2つの数値の内の一つを選択する。その数値が100になる物だけを抽出する。
そして、残ったもう一つの数値を選び直した数値とし、それが元の数値より多くなったか少なくなったかを検証する。
500万回の計算結果

 増えた回数:2499096回
 減った回数:2500904回
 増える確率:0.4998192
 ※増えたか減ったかは確率1/2 
 元の数に対し、選び直した数が何倍になったかの平均:1.25027

 選び直した数は元の数より平均1.25倍になっている。選び直した方が得になった。
 つまり増えるも減るも、予想通り確率は1/2で、増えた場合の倍率:2倍、減った場合の倍率:0.5倍がそれぞれ50%で出た場合は平均1.25倍になるのは数学的に明らかである。


no.最初に選んだ数選び直した数増:〇
平均は〇になった確率
倍率
平均



※計算式
① ある数字を決定(0~300間乱数)これをAとする 。
② Aを2倍にするか半分するかを乱数で選択し、算出した数値をBとする。 
③ 「最初に選んだ数」として2つの数字(A,B)から乱数で選択、残った数を「選び直した数」とする 
④ 「最初に選んだ数」が100になった組合せのみ抽出、それ以外は再計算
※Aを0~300の中から選択したのは、「最初に選んだ数」が100になる組み合わせ【100と50】【100と200】を生成するため。0~200から選択したので良いが、生成に影響しないよう余裕をもって0~300とした。
※最初に選んだ数値が100を、1000にしてもOK(但し、最初のランダム抽出時は0~2000) 


 たかしゅんの答え:二つの封筒問題は、最初に選んだ封筒の金額を見た上で、もう一つの封筒を取った方がお得なのである。

 「たかしゅんの答え」と固有名詞を入れたのには理由がある。
 有限の数値(0-300)からランダム抽出しているところや「最初の数」が100だけを抜き出した方法など、考えかたに問題があるのかもしれない。リアリティーを追及して複雑な計算式にしているが、このアルゴリズムを数学的に換算して見ると、100を固定しもう一つの封筒の中味を2倍か1/2倍かをランダムに出す計算式と同じになる。(組み合わせ【100と50】【100と200】が生ずる確率は同じ
 ネットを調べると、もう一つの封筒が2倍になる確率と0.5倍になる確率はそれぞれ1/2ではないという記載もある。また、封筒に入れる金額の組み合わせは無限大。そんな無限条件から確率や期待値を出すのがそもそもまちがいであり、1.25倍という計算結果に意味を持たないとの理論もある。 
 統計学に詳しい方の専門的な解説が多く、生半可な知識では太刀打ちできない問題であり、scriptで統計を出したゴトキで、素人が「****である」と断言してはならない問題なのである。 

 つまり、正直、わからないのである。 ;_; どちなの? 

 「逃した魚は大きい」、「隣の芝生は青い」、「隣りの土地は大鍵と金のリンゴが良く実る(MM専用)」がこのパラドックスの真の解なのかもしれない。


10/12追記 二つの封筒問題(前言撤回:並べてみたらこうなった)URL】  by たかしゅん